Зно 2009 математика відповіді та розвязки

Но пришли они… и мир рухнул. Как они могут забыть, что мор этот вызвали октопауки. Она сейчас наверняка уже над Атлантикой. Все вокруг тоже говорили, что мне надо похудеть, - вспоминает Юлия Началова.

Практикум з географії 8 клас відповіді пугач

ВНО по математике [задания ]

Задание 31

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності $$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant $$
Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений

ОДЗ: $$x^2+6x>0\Rightarrow x(x+6)>0$$

$$x\in(-\infty;-6)\cup (0; \infty)$$

Теперь приступим к решению исходного неравенства

$$\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant -2\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}\Rightarrow \log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geqslant \log_{\frac{1}{4}}16$$

опустим логарифмы, изменив знак неравенства на противоположный, т.к. основание логарифма $$0<\frac{1}{4}<1$$

$$x^2+6x\leqslant 16\Rightarrow x^2+6x\leqslant 0$$

Найдем корни уравнения $$x^2+6x=0$$ по теореме Виета:

$$x_{1}+x_{2}=-6, x_{1}\cdot x_{2}=\Rightarrow x_{1}=-8, x_{2}=2$$

Получили неравенство: $$(x+8)(x-2)\leqslant 0$$

$$x\in[-8; 2]$$

C учетом ОДЗ, получили:

$$x\in[-8;-6)\cup (0; 2]$$

Целыми решениями являются: $$-8; -7; 1; 2$$ (4 корня)

Ответ: 4.

Задание 32

Обчисліть інтеграл $$\int_{-2}^{1}\left ( x^x \right )dx.$$

Решение:

$$\int_{-2}^{1}\left ( x^x \right )dx=\left ( \frac{x^3}{3}-2x^2 \right )|_{-2}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}-2+8=9$$

Ответ: 9.

Задание 33

Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої зно 2009 математика відповіді та розвязки (у см² ), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см².

Решение:

Пусть $$S$$ &#; площадь закрашенной фигуры, $$S_1$$ &#; площадь малого круга, $$S_2$$ &#; большого круга. $$S=S_{2}-S_{1}, S_{1}=\pi r^2, S_{2}=\pi R^2$$

$$S_{1}=64\Rightarrow \pi r^2=64\Rightarrow r^2=\frac{64}{\pi}$$

$$R=2r\Rightarrow R^2=4r^2\Rightarrow R^2=\frac{4\cdot64}{\pi}$$

$$S_{2}=\pi R^2=\pi\cdot\frac{4\cdot64}{\pi}=$$

$$S=S_{2}-S_{1}==$$

Ответ:

Задание 34

Розв’яжіть рівняння $$\left | \left | 2x-1 \right |-3 \right |=5.$$ Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Решение:

Внутренний модуль обнуляется при $$x=\frac{1}{2}.$$ Имеем два случая:

I. $$x<\frac{1}{2}$$

Раскроем внутренний модуль и получим:

Получившийся модуль обнуляется при $$x=$$ Раскроем его при:

1) $$x\in (-\infty;-1)$$

$$-2x-2=5\Rightarrow x=\in (-\infty;-1)$$ &#; корень

2) $$2x+2=5\Rightarrow x=\notin [-1; \frac{1}{2})$$ &#; не корень

II. $$x\geqslant \frac{1}{2}.$$ Раскроем внутренний модуль и получим:

$$\left | 2x \right |=5\Rightarrow \left | 2x-4 \right |=5$$

Полученный модуль обнуляется при $$x=2.$$ Раскроем его при:

1) зно 2009 математика відповіді та розвязки 2)$$

$$-2x+4=5\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\notin(\frac{1}{2}; 2)$$ &#; не корень

2) $$x\in[2;\infty)$$

$$2x-4=5\Rightarrow x=\in[2;\infty)$$ &#; корень

Итак, получили два корня, перемножим их:

$$\cdot=$$

Ответ: $$$$

Задание 35

Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює $$30^{\circ}.$$ Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом $$60^{\circ}.$$ Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²)якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.

Решение:

Вспомним следующие свойства пирамиды:

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны;
площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

$$SABCD$$ &#; четырехугольная пирамида, $$ABCD$$ &#; ромб, $$\alpha=\angle BAD=30^{\circ},$$ $$\beta =\angle OES=60^{\circ},$$ $$r=3$$ (Спасибо Viktor Zadvorski за указание на ошибку в решении: $$r\neq OE)$$

Площадь боковой поверхности нашей пирамиды можно найти по формуле: $$S=\frac{1}{2}Ph,$$ где $$P$$ &#; периметр основания (ромба), $$h=SE$$ &#; высота боковой грани.

$$P=4a$$ ($$a$$ сторона ромба). Вспомним формулы вычисления площади ромба:

$$S_{1}=a^2\cdot\sin\alpha$$ и $$S_{1}=\frac{4r^2}{\sin\alpha}$$

$$a^2\sin\alpha=\frac{4r^2}{\sin\alpha}\Rightarrow a^2=\frac{4r^2}{\sin^2\alpha}\Rightarrow a=\frac{2r}{\sin\alpha}\Rightarrow P=\frac{8r}{\sin\alpha}$$

$$OE$$ является средней линией треугольника $$ACD (AO=OC, DE=EC),$$ значит

$$OE=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}=\frac{r}{\sin\alpha}$$

Из прямоугольного треугольника $$SOE:$$

$$h=SE=\frac{OE}{\cos\beta}=\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}$$

Значит площадь боковой поверхности:

$$S=\frac{1}{2}Ph=\frac{1}{2}\cdot\frac{8r}{\sin\alpha}\cdot\frac{r}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}=\frac{8r^2}{2\sin^2\alpha\cos\beta}$$

$$S=\frac{8\cdot3^2}{2\cdot(\sin30^{\circ})^2\cdot\cos60^{\circ}}=\frac{72}{2\cdot(\frac{1}{2})^2\cdot\frac{1}{2}}=72\cdot4=$$

Ответ:

Задание 36

Розв’яжіть систему $$\left\{\begin{matrix} 5\cos\frac{\pi y}{2}=x^x+21, \\ y+5x-4=0. \end{matrix}\right.$$

Якщо система має єдиний розв’язок $$(x_{0};y_{0}),$$ то у відповідь запишіть суму $$x_{0}+y_{0};$$ якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Решение:

ОДЗ:

$$\left | \cos\alpha \right |\leqslant 1\Rightarrow \left | \frac{x^x+21}{5} \right |\leqslant 1$$

Решим данное неравенство:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^x+21}{5}\leqslant 1\\ \frac{x^x+21}{5}\geqslant -1 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^x+21\leqslant 5\\ x^x+21\geqslant -5 \end{matrix}\right.$$ $$\sim$$

$$\sim$$ $$\left\{\begin{matrix} x^x+16\leqslant 0\\ x^x+26\geqslant 0 зно 2009 математика відповіді та розвязки отдельно каждое из неравенств:

1) $$x^x+16\leqslant 0$$ или $$(x-4)^2\leqslant 0$$

Но $$(x-4)^2\geqslant 0$$ $$\Rightarrow (x-4)^2= 0\Rightarrow x=4$$

2) $$x^x+26\geqslant 0$$

Найдем дискриминант квадратного уравнения $$x^x+26= 0$$ для четного $$b:$$

$$D_{1}=b_{1}^2-a\cdot c$$

$$a=1, b_{1}=\frac{b}{2}=-4, c=26$$

$$D_{1}=<0$$ &#; нет действительных корней.

Значит квадратный трехчлен $$x^x+26$$ всегда положительный, т.к. $$a=1>0,$$ т.е. $$\forall x\in\mathbb{R}:x^x+26>0$$

Получили систему:

$$\left\{\begin{matrix} x=4\\ x\in(-\infty; \infty) \end{matrix}\right.$$

Решением системы является $$x=4$$

Итак, ОДЗ: $$x=4$$

Из второго уравнения первоначальной системы выразим $$y$$ и подставим $$x=x_{0}=4$$

$$y=x\Rightarrow y_{0}=\cdot4=$$

Получили единственное решение системы $$(x_{0};y_{0})$$

$$x_{0}+y_{0}=4+()=$$

Ответ: $$$$

Источник: https://bondarenko.dn.ua/vneshnee-nezavisimoe-otsenivaniegoda-po-matematike-zadaniya/

Задача 26
Тема: Формулы сокращённого умножения.
Условие:Установите соответствие между числовыми выражениями () и их значениями (А-Д)

1. ²²
2. ²*+66²
3. 98²+98*+52²
4. 47³²*51+17²*³

А.
Б.
В.
Г.
Д.

Решение
1. Раскладываем как разность квадратов:
²²=()(+)=6*= (В)

2. Это квадрат разности:
²*+66²=²-2*66*+66²=()²=²= (Д)

3. Это квадрат суммы
98²+98*+52²=98²+2*98*52+52²=(98+52)²=²= (Г)

4. Это выражение представляет собой куб разности
47³²*51+17²*³=47³-3*47²*+3*47*17²³=()³=30³= (Б)

Ответы:
1. (В)
2. (Д)
3. (Г)
4. (Б)

Задача 27
Тема: Область значений функции.
Условие: Установите соответствие между функциями () и их множествами значений (А-Д)

1. y=log_2x
2. y=2^x
3. формула
4.y=2-x²

А.
Б.
В.
Г.
Д.

Решение
1. логарифм может принимать любое значение, следовательно, Д. формула

2. функция y=2^xможет принимать только положительные значения: Г. формула

3. Корень принимает неотрицательные значения. Умножение на положительный множитель этого не меняет: Б. формула

4. x²принимает значения из формула

, -x²– из

, а 2-x²– из множества В. формула

Ответы:
1. (Д)
2. (Г)
3. (Б)
4. (В)

Задача 28
Тема Стереометрия. Сечения.
Условие: На рисунках () изображён куб и три точки, размещённые или в его вершинах, или на серединах его рёбер. Установите соответствие между каждым рисунком () и наименование фигуры (А-Д), получающейся в сечении.
сечение куба плоскостью, решение задачи тестирования
А. треугольник

Б. прямоугольник

В. трапеция

Г. пятиугольник

Д. ромб

Решение
Приведём построение сечения для каждого из случаев:

сечение куба плоскостью, решение задачи тестирования

Отрезок сечения в верхней грани будет параллелен диагонали верхней грани, следовательно, и нижней. Значит, плоскость сечения параллельна диагонали нижней грани. При этом одна точка диагонали нижней грани принадлежит сечению. Следовательно, плоскости сечения будет принадлежать вся диагональ нижней грани. В сечении получится трапеция (В)
сечение куба плоскостью, решение задачи независимого тестирования

Самый простой случай – т.к. в каждой грани по две точки, достаточно их соединить и получить треугольник (А)

сечение куба плоскостью, решение задачи внешнего оценивания

Точки нижней грани куба, принадлежащие сечению, находим, продлевая рёбра куба и известные прямые, лежащие в сечении. Т.к. данные нам точки лежат на серединах сторон, то прямая, по которой пересекаются плоскости сечения и нижней грани, пройдёт через вершину куба. Таким образом мы получим четырёхугольник с равными сторонами. Это будет ромб, а не квадрат, т.к. одна его диагональ будет равна диагонали куба, а другая –диагонали грани куба. (Д)
сечение куба плоскостью, решение задачи пробного ЗНО

По свойству параллельных плоскостей находим обе прямые, по которым плоскость сечения пересекает вертикальные грани куба, и затем находим прямую, лежащую в верхней грани куба. В сечении – прямоугольник (Б)

Ответы:
1. (В)
2. (А)
3. (Д)
4. (Б)

<Назад Далее>

Задайте вопрос на блоге о математике

Источник: http://intelmath.narod.ru/znoprobahtml

\left =5\Rightarrow \left -3 \right 2x \right

Задание Стереометрия. Пирамида.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15^o. Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 60^o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объём пирамиды (в зно 2009 математика відповіді та розвязки

Решение
Изобразим данную пирамиду. Т.к. все рёбра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника он лежит на серединк гипотенузы.
Следовательно, грань SAB перпендикулярна плоскости основания, и центр описанного шара, (т.О) лежит в. Т.к. эта грань представляет собой равнобедренный треугольник с углом 60^oпри основании, то она – равносторонний треугольник в радиусом описанной окружности, равным радиусу описанного шара около пирамиды SABC формула

Высота равностороннего треугольника в полтора раза больше радиуса описанной окружности: SH = 1,5 SO=9 (см)

Теперь найдём площадь основания АВС. По двум сторонам и углу между ними формула

(см²)
Находим объём
формула

(см³)
Ответ:40,5 (см³) Задание Рациональные уравнения с параметром.Укажите наименьшее значение параметра а, при котором уравнение формула

имеет ровно один корень.

Решение
Во-первых, найдём область дрпустимых значений. Знаменатель не должен быть нулём, значит, х не равен -1,5.
Теперь рассмотрим числитель. Уравнение x²-x+a=0 имеет единственный корень, когда дискриминант его D=a обратится в ноль, т.е. при a=
Однако, это ещё не решение исходной задачи. Ведь может быть и такой случай: числитель обращается в 0 при двух разных значениях х, но одно из этих значений не будет входить в ОДЗ, и в результате у уравнения всё равно будет единственный корень. Получается, нужно найти ещё таике значения а, при которых уравнение x²-x+a=0 имеет два корня, один из которых равен –1,5.
Это легко найти по тереме Виета. Т.к. сумма корней уравнения должна быть равна единице (второй коэффициент с противоположным знаком), то второй корень равен 2,5. Тогда параметр а равен произведению корней и составит -3,75, что меньше значения 0,25, поученного нами ранее. Его и запишем в ответ.
Ответ:-3,75

<Назад Обсудить решения задач в блоге ЗНО по математике

Задайте вопрос на блоге о математике

Источник: http://intelmath.narod.ru/znoprobahtml

=5$$

Получившийся модуль обнуляется при $$x=$$ Раскроем его при:

1) $$x\in (-\infty;-1)$$

$$-2x-2=5\Rightarrow x=\in (-\infty;-1)$$ &#; корень

2) $$2x+2=5\Rightarrow x=\notin [-1; \frac{1}{2})$$ &#; не корень

II. $$x\geqslant \frac{1}{2}.$$ Раскроем внутренний зно 2009 математика відповіді та розвязки и получим:

$$\left \leqslant 1\Rightarrow \left

Р’РёРґРµРѕ РїРѕ С‚РµРјРµ

ЗНО математика 2009 (Основна сесія) №30